1. Les fondements : Limites et approximation séquentielle
Nous passons de l'abstraction théorique des limites à la réalité informatique selon laquelle un processeur ne peut pas approcher zéro ; il ne peut qu'approcher un epsilon machine.
Une fonction $f$ définie sur un ensemble $X$ admet la limite $L$ en $x_0$, notée $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, si, étant donné tout nombre réel $\varepsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que $|f(x) - L| < \varepsilon$ dès que $x \in X$ et $0 < |x - x_0| < \delta$.
Une suite $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ admet la limite $x$ si, pour tout $\epsilon > 0$, il existe un entier positif $N(\epsilon)$ tel que $|x_n - x| < \epsilon$ dès que $n > N(\epsilon)$. Cela justifie nos algorithmes itératifs.
2. Continuité et différentiabilité : Exigences de sécurité
Dans les logiciels numériques, la continuité (Définition 1.2) et la différentiabilité (Définition 1.5) ne sont pas seulement des propriétés académiques ; elles sont des « exigences de sécurité » pour la stabilité numérique. Théorème 1.6 démontre que si une fonction est différentiable en $x_0$, elle est continue en $x_0$, garantissant que de petites erreurs de mesure n'entraînent pas de sauts catastrophiques dans la sortie.